Информатика на пять О нас
 Добавить в избранное
5byte.ru
 Теория
 8 класс
 9 класс
 10 класс
 11 класс
Задания
 8 класс
 9 класс
 10 класс
 11 класс
Книги
Тесты
ЕГЭ
Turbo Pascal 7
 Описание
 Задачи
HTML
Рефераты

Алгоритм Евклида

Наибольший общий делитель

Рассмотрим следующую задачу: требуется составить программу определения наибольшего общего делителя (НОД) двух натуральных чисел.

Вспомним математику. Наибольший общий делитель двух натуральных чисел - это самое большое натуральное число, на которое они делятся нацело. Например, у чисел 12 и 18 имеются общие делители: 2, 3, 6. Наибольшим общим делителем является число 6. Это записывается так:

НОД(12, 18) = 6.

Обозначим исходные данные как М u N. Постановка задачи выглядит следующим образом:
Дано: М, N
Найти: НОД(М, N).

В данном случае какой-то дополнительной математической формализации не требуется. Сама постановка задачи носит формальный математический характер. Не существует формулы для вычисления НОД(М, N) по значениям М и N. Но зато достаточно давно, задолго до появления ЭВМ, был известен алгоритмический способ решения этой задачи. Называется он алгоритмом Евклида.

Идея алгоритма Евклида

Идея этого алгоритма основана на том свойстве, что если M>N, то

НОД(М, N) = НОД(М - N, N).

Иначе говоря, НОД двух натуральных чисел равен НОД их положительной разности (модуля их разности) и меньшего числа.

Легко доказать это свойство. Пусть К - общий делитель М u N (M> N). Это значит, что М = mК, N = nК, где m, n - натуральные числа, причем m > n. Тогда М - N = К(m - n), откуда следует, что К - делитель числа М - N. Значит, все общие делители чисел М и N являются делителями их разности М - N, в том числе и наибольший общий делитель.

Второе очевидное свойство:

НОД(М, М) = М.

Для "ручного" счета алгоритм Евклида выглядит так:

1) если числа равны, то взять любое из них в качестве ответа, в противном случае продолжить выполнение алгоритма;

2) заменить большее число разностью большего и меньшего из чисел;

3) вернуться к выполнению п. 1.

Рассмотрим этот алгоритм на примере М=32, N=24:



Получили: НОД(32, 24) =НОД(8, 8) = 8, что верно.

Описание алгоритма Евклида блок-схемой

На рис. 3.12 приведена блок-схема алгоритма Евклида.

Рис. 3.12. Блок-схема алгоритма Евклида


Структура алгоритма - цикл-пока с вложенным ветвлением. Цикл повторяется, пока значения М и N не равны друг другу. В ветвлении большее из двух значений заменяется на их разность.

А теперь посмотрите на трассировочную таблицу алгоритма для исходных значений М = 32, N = 24.

Шаг Операция M N Условие
1 ввод М 32    
2 ввод N   24  
3 M ¹ N     32 ¹ 24, да
4 M>N     32>24, да
5 M:=M-N 8    
6 M ¹ N     8 ¹ 24, да
7 M>N     8>24, нет
8 N:=N-M   16  
9 M ¹ N     8 ¹ 16, да
10 M>N     8>16, нет
11 N:=N-M   8  
12 M ¹ N     8 ¹ 8, нет
13 вывод M 8    
14 конец      

В итоге получился верный результат.

Программа на АЯ и на Паскале

Запишем алгоритм на АЯ и программу на Паскале.

алг Евклид
цел М, N
нач
     вывод " Введите М и N" ввод М, N
     пока М N, повторять
     нц
          если M>N
          то M:=M-N
          иначе N:=N-M
          кв
     кц
     вывод "НОД=",М
кон
Program Evklid;
var M, N: integer;
begin
     writeln('Введите М и N');
     readln(M, N);
     while M<>N do
          begin
               if M>N
               then M:=M-N
               else N:=N-M
     end;
     write('Н0Д=',М)
end.


Вопросы и задания

1. Выполните на компьютере программу Evklid. Протестируйте ее на значениях М= 32, N = 24; М = 696, N = 234.

2. Составьте программу нахождения наибольшего общего делителя трех чисел, используя следующую формулу:

НОД(А, B, С) = НОД(НОД(А, В), С).

3. Составьте программу нахождения наименьшего общего кратного (НОК) двух чисел, используя формулу:

А × В = НОД(А, В) × НОК(А, В).




 У Вас есть материал пишите нам
 
    Copyright © 2008    
Rambler's Top100